Question

limx→0[(1+x)^1/x-e]/x

有一步怎么都看不懂 就是lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x 怎么突然变到 e lim(x→0) ln(1+x)-x/x^2 .求助求详解 指数e哪里去了？

Answer 1

当x趋于0时，e^x-1和x是等价无穷小，可以相互替换。本题中ln(x+1)/x-1相当于刚才式中的x，因此e^[(ln(x+1)/x-1]-1和ln(x+1)/x-1是等价无穷小，替换后得[ln(x+1)/x-1]/x=[ln(1+x)-x]/x^2。其实这题没必要做的这么麻烦，用泰勒公式展开挺简单的。

追问

那为什么不直接把ln(x+1)换成x呢？这里面有什么规则么？

追答

原则上可以换，但换完后极限=elim[e^(x/x-1)-1]/x，x趋于0时，分子分母还是都趋于0，还是0/0型未定式，极限求不出来，所以这题n(x+1)换成x没意义。