Question

线性代数范德蒙行列式的一道证明...

求详细点...

Answer 1

考虑关于a,b,c,d,e的5*5矩阵的范德蒙行列式|A|，其中A为那个范德蒙矩阵。
这个行列式的值应该等于关于a,b,c,d的范德蒙行列式的值（a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)（不妨设为B），再乘以(a-e)(b-e)(c-e)(d-e)，也就是B*(a-e)(b-e)(c-e)(d-e)，这可由范德蒙行列式值的著名性质马上得到。到这你都懂吧？
然后把|A|按照e的那一列展开，很显然你这个题目中的行列式就成为了e的3次项系数（负的）。所以我们得知道e的3次项是什么，为此我们把B*(a-e)(b-e)(c-e)(d-e)展开为B*e^4-B*(a+b+c+d)*d^3+...
所以e的3次项系数为-B*(a+b+c+d)，故题目中的行列式为B*(a+b+c+d)，即(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)*(a+b+c+d)
不懂可以再问~

Answer 2

解: 作辅助行列式D1 =
1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4

此为Vandermonde行列式,
故D1 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).
又因为行列式D1中x^3的系数-M45即为行列式D所以
D = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)
= (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).