Question

问：线性代数中三秩相等是什么？怎么用？在什么情况下三秩相等？

Answer 1

三秩相等是指矩阵的列向量组的秩（简称列秩）、行向量组的秩（简称行秩）和通过子式定义的秩（k阶子式是指一个m×n的矩阵中任取k（k<=m,k<=n）行k列拼起来构成的新矩阵的行列式，矩阵的秩等于其阶数最大的非零子式的阶数）相等。

行秩与列秩比较常用。在计算中，行秩与列秩可用于计算矩阵的秩（高斯消元法）。在证明中，行秩与列秩实质上将矩阵的秩转化为向量组的秩，故可有向量的性质推证矩阵性质。通过子式定义的秩用的较少，在一些特殊的证明中可能会比较便捷。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于f的像的维度。

Answer 2

矩阵行向量组的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩，任何情况下都相等。

三个秩其实是从不同方面描述矩阵的秩，对于同一个矩阵，三秩在任意情况下均相等。行秩与列秩比较常用。在计算中，行秩与列秩可用于计算矩阵的秩（高斯消元法）。在证明中，行秩与列秩实质上将矩阵的秩转化为向量组的秩，故可有向量的性质推证矩阵性质。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

以上内容参考：百度百科-线性代数

Answer 3

三秩相等是指矩阵的列向量组的秩（简称列秩）、行向量组的秩（简称行秩）和通过子式定义的秩（k阶子式是指一个m×n的矩阵中任取k（k<=m,k<=n）行k列拼起来构成的新矩阵的行列式，矩阵的秩等于其阶数最大的非零子式的阶数）相等，三个秩都称为矩阵的秩。三个秩其实是从不同方面描述矩阵的秩，对于同一个矩阵，三秩在任意情况下均相等。
行秩与列秩比较常用。在计算中，行秩与列秩可用于计算矩阵的秩（高斯消元法）。在证明中，行秩与列秩实质上将矩阵的秩转化为向量组的秩，故可有向量的性质推证矩阵性质。
通过子式定义的秩用的较少，在一些特殊的证明中可能会比较便捷。

Answer 4

矩阵行向量组的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩
任何情况下都相等。

追问

它这个向量怎么用三秩相等？

追答

因为向量组 a1, a2, ......, as 的秩 r(a1, a2, ......, as) = s
故矩阵 A = (a1, a2, ......, as) 的秩 r(A) = s，
这就是根据三秩相等得来的。

追问

那根据三秩相等，为什么B的秩和A的秩一样？这不是同一个矩阵的呀

追答

矩阵 B 的秩 不是根据三秩相等来的，
而是根据矩阵相乘时 “积的秩不大于每个因子矩阵的秩” 这一特性来的。

因 A = BC，
则 A 的秩 不大于 B 的秩， 即
s = r(A) ≤ r(B) ≤ s
故 r(B) = s.

追问

⋯⋯不对不对，应该是为什么A的秩小于等于B的秩啊？

嗯嗯知道了！