Question

设0<a,b,c<1,求证a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1

谢谢啦～

Answer 1

f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)
=(1-b-c)a+b(1-c)+c
所以f(a)是关于a的一次函数，所以max(f(a))=max(f(0),f(1));
而f(0)=b(1-c)+c,因为b<1,所以b(1-c)<1-c,所以b(1-c)+c<1，即f(0)<1;
f(1)=1-b-c+b-bc+c=1-bc<1;
所以f(a)<1
有a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1.