Question

已知sinα=1/2,且α是第二象限角,求sinα/2,cosα/2

Answer 1

∵а为第二象限角

∴     sinа=1/2

       sinа=sinπ/6

sin（π-а）=sinπ/6

       π-а=π/6

         а=5π/6

∴sinа/2=sin5π/12

        =sin75︒

如上图，△ABC，∠CAB为30︒，∠C为90︒，作∠CAB的角平分线AD交BC于D，作DE⊥AB于E。

∵AD是∠CAD的平分线，∠CAB为30︒

∴∠CAD=∠EAD=15︒

∵DE⊥AB，∠C为90︒

∴∠C=∠ADE=90︒

∴   AD=AD

  ∠CAD=∠EAD

∠C=∠ADE(AAS)

∴△ACD≌△AED

∴∠CDA=∠EDA=75︒，AC=AE

∴∠BDE=30︒,AC/AB=AE/AB=√3/2,BE/AB=1/(2-√3)

∵DE⊥AB

∴DE/BE=√3

∴DE/AB/AE=(2√3-3)/2/√3

∴根据勾股定理，可得AE/AD=√3/(√6+√2)=(3√2-√6)/4=sin75︒

                     DE/AD=(2√3-3)/(√6+√2)=3√2-2√6=cos75︒

Answer 2

解：∵α是第二象限角，则α/2∈(π/4,π/2)
∴cosα<0，sin(α/2)>0，cos(α/2)>0
∵sinα=1/2
∴cosα=-√(1-(sinα)^2)=-√3/2
故sin(α/2)=√((1-cosα)/2)=√(2+√3)/2 (应用半角公式)
cos(α/2)=√((1+cosα)/2)=√(2-√3)/2 (应用半角公式)。

Answer 3

sina=1/2,a是第二象限角，
∴a=(2k+5/6)π，k∈Z,
∴a/2=(k+5/12)π，
k为偶数时,
sin(a/2)=sin(5π/12）=（√6+√2)/4,
cos（a/2)=cos(5π/12)=(√6-√2)/4.
k为奇数时sin(a/2)=-sin(5π/12)=-(√6+√2)/4,
cos(a/2)=-cos(5π/12)=-(√6-√2)/4.

Answer 4

sina=1/2 a是第二象限角
求得a=5/6 π+2kπ(k∈Z)
∴a/2=5/12 π+kπ (k∈Z)
所以sin(a/2)=±（√6+√2）/4 cos(a/2)=±（√6-√2）/4

Answer 5

解：∵α是第二象限角，则α/2∈(π/4,π/2)
∴cosα<0，sin(α/2)>0，cos(α/2)>0
∵sinα=1/2
∴cosα=-√(1-(sinα)^2)=-√3/2
故sin(α/2)=√((1-cosα)/2)=√(2+√3)/2 (应用半角公式)
cos(α/2)=√((1+cosα)/2)=√(2-√3)/2 (应用半角公式)。