Question

求x^11/(x^8+3x^4+2)的不定积分

Answer 1

∫(x^11)/(x^8+3x^4+2)dx

=1/4*∫(x^8)/(x^8+3x^4+2)dx^4

t=x^4

原积分=1/4*∫t^2/(t^2+3t+2)dt=1/4*∫(t^2+3t+2-3t-3+1)/(t+1)(t+2) dt

=1/4*∫dt-1/4*∫3/(t+2)dt+1/4*∫[1/(t+1)-1/(t+2)]dt

=1/4t-3/4*ln(t+2)+1/4*ln(t+1)/(t+2)+c

=1/4*x^4-1/4*ln(x^4+1)-ln(x^4+2)+c

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

Answer 2

解：
先对分式进行化简：
x¹¹/(x⁸+3x⁴+2)
=x¹¹/[(x⁴+1)(x⁴+2)]
=x¹¹[1/(x⁴+1) -1/(x⁴+2)]
=x¹¹/(x⁴+1) - x¹¹/(x⁴+2)
=(x¹¹+x⁷-x⁷-x³+x³)/(x⁴+1) -(x¹¹+2·x⁷-2·x⁷-4·x³+4·x³)/(x⁴+2)
=[x⁷(x⁴+1)-x³(x⁴+1)+x³]/(x⁴+1) -[x⁷(x⁴+2)-2x³(x⁴+2)+4x³]/(x⁴+2)
=x⁷ -x³ +x³/(x⁴+1) -x⁷ +2x³ -4x³/(x⁴+2)
=x⁷ -x³ +x³/(x⁴+1) -x⁷ +2x³ -4x³/(x⁴+2)
=x³ +x³/(x⁴+1) -4x³/(x⁴+2)

∫[x¹¹/(x⁸+3x⁴+2)]dx
=∫[x³ +x³/(x⁴+1) -4x³/(x⁴+2)]dx
=∫x³dx +∫[x³/(x⁴+1)]dx -∫[4x³/(x⁴+2)]dx
=∫x³dx + ¼∫[1/(x⁴+1)]d(x⁴+1) -∫[1/(x⁴+2)]d(x⁴+2)
=¼x⁴ +¼ln(x⁴+1) -ln(x⁴+2) +C

解题思路：
本题次数较高，直接观察，无法确定如何积分。因此先对分式进行化简处理，再将化简结果代入，进行积分。

Answer 3

提示：按照有理函数的积分方法。
①x^11=xxx*(x^8+3x^4+2)-【3x^7+2x^3】。
②对上述【…】用插项的方法凑出8x^7+12x^3，作为分母的导数。
③其余未积出的部分，对分母做因式分解=(1+x^4)(2+x^4)，
分子中有x^3，换元令u=x^4解决。

Answer 4