Question

(b-c)(a-b+c)(a+b-c)+(c-a)(b-c+a)(b+c-a)+(a-b)(c-a+b)(c+a-b)因式分解

Answer 1

方法一：
令a－b＝x、a－c＝y、b－c＝z，则：
原式
＝z（c＋x）（b＋y）－y（a＋z）（c－x）＋x（b－y）（a－z）
＝z（bc＋bx＋cy＋xy）－y（ac－ax＋cz－xz）＋x（ab－ay－bz＋yz）
＝bcz＋bxz＋cyz＋xyz－acy＋axy－cyz＋xyz＋abx－axy－bxz＋xyz
＝3xyz＋bcz－acy＋abx
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋bc（b－c）－ac（a－c）＋ab（a－b）
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋bc（b－c）－a^2c＋ac^2＋a^2b－ab^2
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋bc（b－c）＋a^2（b－c）－a（b^2－c^2）
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋bc（b－c）＋（b－c）［a^2－a（b＋c）］
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋（b－c）（bc＋a^2－ab－ac）
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋（b－c）［－c（a－b）＋a（a－b）］
＝3（a－b）（a－c）（b－c）＋（b－c）（a－b）（a－c）
＝4（a－b）（a－c）（b－c）。

方法二：
容易验证出：当a＝b时，原式＝0；当a＝c时，原式＝0；当b＝c时，原式＝0，
∴由余数定理可知：原式含有因式（a－b）（a－c）（b－c）。
很明显，原式是三次式，而（a－b）（a－c）（b－c）是三次式，
∴可令原式＝k（a－b）（a－c）（b－c），其中k是待定常数。

令a＝0、b＝1、c＝－1，得：
k（a－b）（a－c）（b－c）＝k（0－1）（0＋1）（1＋1）＝－2k，
（b－c）（a－b＋c）（a＋b－c）＝（1＋1）（0－1－1）（0＋1＋1）＝－8，
（c－a）（b－c＋a）（b＋c－a）＝（－1－0）（1＋1＋0）（1－1－0）＝0，
（a－b）（c－a＋b）（c＋a－b）＝（0－1）（－1－0＋1）（1＋0－1）＝0，
∴此时原式＝－8，∴k＝4。

于是：原式＝4（a－b）（a－c）（b－c）。