Question

高二数学归纳法题目。

Answer 1

例1．用数学归纳法证明：

1
212121
7
515
313
11



nnnn．
请读者分析下面的证法： 证明：①n=1时，左边3
13
11
，右边3
11
21


，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：

1
212121
7
515
313
11



kkkk．
那么当n=k+1时，有：

32121
12121
7
515
31311



kkkk


321121121121
7151513131121kkkk 3
22
221321121

kkk 1
1213
21

kkkk
这就是说，当n=k+1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n=k+1时．

32121
12121
7
51531311


kkkk

32121
1
2

kkkk



321211232121
322

kkkkkkkk

1
1213
21

kkkk
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性． 解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

60
3224
26321
211aaaaaa， 解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n=k时，等式成立，即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2) 那么当n=k+1时， a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
例3．证明不等式nn
213
12
11


 (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

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左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即kk
213
12
11


．
那么当n=k+1时，
1
11312
11



kk

1
1
121
1
2

kkkkk
121
121
1
1

kkkkkk
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
121
11312
11



kkk
，当代入归纳假设后，就是要证明：
121
1
2
kkk．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时， a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除． 因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．

Answer 2

证：1/n^2<1/(n^2-n)=1/(n-1)-1/n,
∴1/(n-1)^2<1/(n-2)-1/(n-1),
……
1/2^2<1-1/2,
1=1,
累加得
1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2<2-1/n=(2n-1)/n.