Question

高三数学问题

正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1 它的六条对角线又围城了一个正六边形A2B2C2D2E2F2 如此继续下去 所有这些正六边形的面值之和？
答案是9分之4倍根号3

Answer 1

你的答案是错误的
应该是（9/4）乘以根号3 ； 四分之九根号3

方法一、求出两个六边形的比值，可以看出是个等比数列
求其前n项和，然后n取极限 n等于无穷大
二、推理
设六边形面积为a
1、连接六边形的所有邻对角线（只相邻一个顶角）得 外圈12个三角形和一个小六边形
2、连接小六边形对角线（相邻两个顶角）得6个等边三角形
3、这18个三角形面积是相等的
4、即大六边形和小六边形面积比值3:1 即 小六边形面积1/3 a
所有小六边形面积相加 为 1/2 a
由题求出 a=3/2根号3
a+1/2a=3/2×3/2根号3=9/4根号3

Answer 2

设正六边形的边长A1B1C1D1E1F1为a，则其面积为(3√3)*a^2/2
正六边形的边长A1B1C1D1E1F1为a/3，则其面积为(3√3)*(a^2/9)/2
......
正六边形的边长AnB1CnDnEnFn为a/3^(n-1)，则其面积为(3√3)*(a^2/9^(n-1)/2
所有这些正六边形的面积之和：
S=(3√3)*a^2/2+(3√3)*(a/9)/2+(3√3)*(a/9)^2/2+...+(3√3)*a/9^(n-1)/2
=(3√3)*a^2/2*[1-(1/9)^n-1]/[1-1/9]
当a=1
S=(3√3)/2*[1-(1/9)^(n-1)]/[8/9]
当n无穷大时，(1/9)^(n-1)=0
则S=(3√3)/2*9/8=27√3/16