Question

有小于1的正数x1,x2,...xn,它们满足x1+x2+x3...+xn=1 求证：1/(x1-x1^3)+1/(x2-x2^3)+...+1/(xn-xn^3)＞4

Answer 1

显然要求n>1

x1,x2,...xn>0;显然0<xi<1,那么1>xi-(xi)^3>0,因此1/(xi-xi^3)>1,i=1,2,....n

因此当n>4时，结论成立。

当n=3的时候，不妨设x1是最小的，那么显然x1<1/3
那么必然有1/(x1-x1^3)>1/x1=3,而1/(x1-x1^3)+1/(x2-x2^3)+1/(x3-x3^3)>3+1+1=5>4

当n=2时，
那么1/(x1-x1^3)+1/(x2-x2^3)>1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=1/x1x2
由于1=x1+x2>=2根号(x1x2);因此x1x2<=1/4;
那么1/(x1-x1^3)+1/(x2-x2^3)>1/x1x2>1/(1/4)=4

综上所述，命题成立。