Question

已知数列an的前n项和为sn,且a1=2,a2=8,a3=24 ,｛a(n+1)-2an｝为等比数

已知数列an的前n项和为sn,且a1=2,a2=8,a3=24 ,｛a(n+1)-2an｝为等比数列。
⑴求证：｛an/2^n｝是等差数列。
⑵求1/Sn的取值范围。

Answer 1

Answer 2

令bn=a(n+1)-2an
b1=a2-2a1=8-2*2=4
b2=a3-2a2=24-2*8=8
bn=b1q^(n-1)=4q^(n-1)
b2=4q=8
q=2
bn=a(n+1)-2an=4*2^(n-1)=2^(n+1)
a(n+1)-2an=2^(n+1)
等式两边同了除以2^(n+1)得
a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1
｛an/2^n｝是公差为1,等差数列

2)an/2^n=a1/2+(n-1)=1+n-1=n
an=n*2^n
Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+....+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
2Sn= 2*2^2+2*2^3+....+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
两式相减得
-Sn=2+2^2+2^3+....+2^n-n*2^(n+1)=-2(1-2^n)-n*2^(n+1)
Sn=2(1-2^n)+n*2^(n+1)=2+(n-1)*2^(n+1)
Sn=2+(n-1)*2^(n+1)
1/Sn=1/[2+(n-1)*2^(n+1)]
0<1/Sn<1/2

追问

最后的范围是可以取1/2的。