Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线l的距离为2． （1）求p的值； （2）过点Q（

已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线l的距离为2．
（1）求p的值；
（2）过点Q（a，0）作直线交于A B两点 1/QA平方+1/
QB平方为定值，求a

用设直线AB的k=tan来做 不要别的方法

Answer 1

(1)p=2
(2) 抛物线C：y^2=4x
过Q(a,0)的直线AB不会与y轴垂直,设其方程x=my+a
A(my1+a,y1),B(my2+a,y2)
|QA|^2=(m^2+1)y1^2,|QB|^2=(m^2+1)y2^2,
(1/|QA|^2)+(1/|QB|^2)=(1/y1^1+1/y2^2)/(m^2+1)
=((y1^2+y2^2)/(y1y2)^2)/(m^2+1)
由y^2=4x且x=my+a消去x并化简得
y^2-4mx-4a=0
必有y1+y2=4m,y1y1=-4a
y1^2+y2^2=(y1+y2)^2-2y1y2=16m^2+8a
(y1y2)^2=16a^2
(1/|QA|^2)+(1/|QB|^2)
=((16m^2+8a)/(16a^2))/(m^2+1)
=(1/a^2)(m^2+a/2)/(m^2+1)
它是定值得a/2=1,a=2
当a=2即Q(2,0)时,(1/|QA|^2)+(1/|QB|^2)=1/4恒成立.
所以 a=2

希望能帮到你！

追问

用tan做

追答

本题中,因直线AB可以与x轴垂直,但不会与y轴垂直.所以设x=my+a是最简捷的方法.
如果用k求解,先求k存在且不是0时a的值,只需将解答中的m换成1/k即可.再补充k不存在时求出的a也满足条件,过程要复杂些.
希望能帮到你！