Question

设a b均为n阶方阵 a有n个互异的特征值且ab=ba 证明b相似于对角矩阵

Answer 1

bp是对角阵。

只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

矩阵的对角线有许多性质，如做转置运算时对角线元素不变、相似变换时对角线的和(称为矩阵的迹)不变等。在研究矩阵时，很多时候需要将矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量，而有时又需要用一个向量构造一个对角阵。

Answer 2

ab=ba <=> (p^{-1}ap)(p^{-1}bp)=(p^{-1}bp)(p^{-1}ap)
可以取p使得p^{-1}ap=diag{d1,...,dn}，乘出来对比一下就得到p^{-1}bp是对角阵

Answer 3

(1) AB=BA等价于(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)
把P^{-1}AP取成对角阵即可,接下去自己动手算
(2) 方法同上,取P1使得P1^{-1}AP1是对角阵,并且额外地把P1^{-1}AP1按特征值排列成diag{aI,bI,cI,...},然后用分块乘法验证P1^{-1}BP1也是分块对角阵,再把每块都对角化即可