Question

∫∫ydxdy 积分域d关于y=1对称,为什么∫∫(y-1)dxdy=0??

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Answer 1

这个要从二重积分的物理含义上理解：
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1、二重积分的被函数，可以有各种各样的物理含义：
例如一：高度；那么被积函数乘以 dxdy 后积分，就是体积；
例如二：质量密度；那么被积函数乘以 dxdy 后积分，就是质量；
例如三：电荷密度；那么被积函数乘以 dxdy 后积分，就是电量；
例如四：能量密度；那么被积函数乘以 dxdy 后积分，就是能量；
例如五：压强；那么被积函数乘以 dxdy 后积分，就是压力；
、、、、
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2、既然积分区域以 y = 1 为对称轴（symetrical line），那么，
A、y = 1 这条线的上方距离为 a 的地方的高度是 1 + a，
被积函数 y - 1 = （1 + a）- 1 = a；
y = 1 这条线的下方距离为 a 的地方的高度是 1 - a，
被积函数 y - 1 = （1 - a）- 1 = -a。
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B、也就是说它们各自的被积函数分别是 +a、-a，
它们各自都有 dxdy 的积分区域，dxdy 是正；
+adxdy 与 -adxdy 一一对应，也一一抵消。
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9、整体的积分是在这样的对称区域进行，也就是累积；
由于对称性，y = 1 上方任何一个区域的积分，必然有
下方的对应区域抵消。所以，总的积分等于零。
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