Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1）三点。（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，

点P在抛物线上，若以点Q,P，A,B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

Answer 1

解：
（1）抛物线经过AB两点，(3-1)/2=1，对称轴是x=1，则设解析式y=a（x-1）²+b，x=0，y=-1，a+b=-1，代入A点坐标，有0=a（-1-1）²+b，即4a+b=0，联立关于a和b的方程，求出a=1/3，b=-4/3，解析式是y=（x-1）²/3-4/3
(2)AB为平行四边形的对角线，PQ为另一个对角线，两根对角线之间有交点，且交点为AB的中点E，坐标（1，0）。设Q点坐标为（0，q），P点坐标为（r，p）则QE直线解析式为x/1+y/q=1，或者y=q-qx，该线与抛物线交点是该点r=[2-3q±√（9²+16）]/2，p=q-q[2-3q±√（9²+16）]/2，
当该点与E点距离等于QE，则四点组成平行四边形。
方程：r²+p²=1+q²，
[2-3q±√（9²+16）]²/4+{q-q[2-3q±√（9²+16）]/2}²=1+q²，
解出q，即可求出符合条件的P点坐标。（略）