Question

如何证明一个集合A的闭包的闭包仍然是集合A的闭包

Answer 1

设A的闭包是B，A的闭包的闭包是C。用反证法，如果命题不成立，则B的某一个内点或聚点不是A的内点或聚点。显然，B的每个元素都在A的闭包里。所以只要证B的每个聚点都在A的闭包里。假设B的某个聚点P不在A的闭包里，则P是A的外点。所以P的某个邻域U与A的交集是空集。而U内必定有B的元素。设Q为U与B的交集的某个元素。在Q的某个邻域内没有A的元素，即Q是A的外点。但既然Q是B的元素，则Q必定是A的内点或聚点。所以矛盾。原命题成立。

追问

设Q为U与B的交集的某个元素。在Q的某个邻域内没有A的元素，这句是为什么呢，麻烦指点一下，嘿嘿，谢谢

追答

Q在U里面，而U与A是不相交的。我们一定能找到Q的一个邻域V，这个邻域是U的子集。由于U与A交集是空集，所以V∩A也是空集，所以在Q的某个邻域内没有A的元素。