Question

已知a≥1/2,函数f(x)=-a^2x^2+ax+c(a,c∈R)

(1)对x∈[0,1],均有f(x)≤1成立,则c的取值范围是??

(2)已知关于x的实系数二次方程f（x）=0有两个实数根α，β，证明：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是c≤a^2-a.

Answer 1

Answer 2

(1)由题得：-a^2x^2+ax+c-1<=0

即[0,1]区内，g(x)=-a^2x^2+ax+c-1的图像在x轴下方（包括x轴）
已知a≥1/2，得：Δ<=0或g(0)<=0且g(1)<=0

a^2+4a^2(c-1)<=0 => 1+4(c-1)<=0 =>c<=3/4
g(0)=c-1<=0 => c<=1
g(1)=-a^2+a+c-1<=0 => c<=a^2-a+1=(a-1/2)^2+3/4
综上，c的取值范围为：(-∞,3/4]

(2)参考dfnycz的做法，不做了

Answer 3

(1) f(x)≤1<===>c≤a²[x-1/(2a)]²+(3/4)对x∈[0,1]恒成立.
∵ a≥1/2, ∴ 0<1/(2a)≤1, 对称轴x=1/(2a)∈[0,1],
∴ 函数t=g(x)=a²[x-1/(2a)]²+(3/4)有最小值=g(1/(2a))=3/4,
∴ c≤3/4
(2) ∵ c≤3/4, ∴ f(x)=-a²x²+ax+c≤-a²x²+ax+(3/4)=-a²[x+1/(2a)]²+1≤1, 即f(x)≤1 .