Question

求第三小问。

知：如图十，在△ABC中，AB＝AC＝15，
　　cos∠A＝4/5 ．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是
　　边AC上的一个动点，设PA＝x．
　　（1）求底边BC的长；
　　（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，
　　设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系
　　式，并出写出x的取值范围；
　　（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，
　　是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC
　　垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明
　　理由．

Answer 1

既然只问第三问，那前两问就不详细回答了，在这里对一下答案吧，只作参考．
第一问，BC＝3倍根号10.
第二问，Y＝4分之9倍（10＋X），15＞X＞0
下面重点说第三问，先说解题思路，根据题意，由于是将△MPA沿直线MP翻折后得到的△MPN，所以△MPA和△MPN是全等的，这是很容易得到的结论，题中问你是否存在△MPN的边与AC垂直的情况,那我们就假设这样的三角形是存在的,然后来求X的值,如果X的值是大于0且小于15的,那么就符合题意,如果求出X的值不在这个范围内,那么就是不存在的,也就是说假设不成立.根据这个思路,下面我们来解题.
根据题意,只有两种情况,一种是MN垂直AC,一种是PN垂直AC,下面我们就分别来看这两种情况.
(你根据我所说的情况来作图,对照图形来看过程)
(1)在△ABC中,过M作MN垂直AC,交AC于D,且MN=AM=10(因为AB=AC=15,且AM=2MB,所以AM=10),P为AD之间的一点,连接PN,
因为cos∠A＝4/5 ,AM=10,MD垂直AD,所以可以求出MD=6,AD=8,
因为△MPA全等于△MPN,所以角A=角N,角AMP=角PMN,AP=PN
所以MP是角AMN的平分线,所以在△AMD中,AM:MD=AP:PD(角平分线的定理),
所以10:6=X:(8-X),由此可以解得X=5,即AP=5,PD=3,
所以PN=AP=5,在RT△PDN中,角PDN=90度,PD=3,PN=5,所以DN=4,
所以MN=MD+DN=6+4=10,符合题意,所以当X=5的时候,△MPN的一条边MN垂直于AC.
(2)重新画一个原图,在△ABC中,在AC上靠近C点的位置取一点P,作PN垂直AC交BC于D,且PN=AP,连接MN,MP,
根据题意,△MPA全等于△MPN,所以∠APM=∠NPM,因为PN垂直AP,所以∠APM=∠NPM=45度.
在△MPA中,过点M作ME垂直AC,交AC于E,因为cos∠A＝4/5,AM=10,所以AE=8,ME=6,
因为∠MPA=45度,所以ME=EP=6,所以AP=AE+EP=8+6=14,
即,当X=14时,△MPN的一条边MP垂直于AC.
所以符合题意的X有两个,分别为5和14.