Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC中点，B1C与平面A1BD平行，AC1与平面A1BD垂直，求证：

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC中点，B1C与平面A1BD平行，AC1与平面A1BD垂直，求证：B1C1与平面ABB1A1垂直

Answer 1

设A1D∩AC1=E,

∵AC1⊥平面A1BD,且A1D∈平面A1BD,

∴AC1⊥A1D,

在平面ACC1A1上,

∵<AAED=<A1AD=90°,

∴<AA1D+<ADE=90°,

<EAD+<ADE=90°,

∴AA1D=<EAD,

∵<A1AD=<ACC1=90°,

∴RT△A1AD∽RT△ACC1,

∴AA1/AC=AD/CC1,

∵AD=AC/2,AA1=CC1,

∴AC^2/2=AA1^2,

设AB=BC=BB1=a,

∴AC=√2AA1=√2a,

∴AB^2+BC^2=2a^2=AC^2,

∴根据勾股逆定理,△BAC是等腰RT△,

∴<ABC=90°,

∴<A1B1C1=90°,

∵三棱柱是直棱柱,

∴BB1⊥平面A1B1C1,

∵B1C1∈平面A1B1C1,

∴B1C1⊥BB1,

∵BB1∩A1B1=B1,

∴B1C1⊥平面ABB1A1.

 

"B1C//平面A1BD"条件未用.