Question

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-根号2,o),(根号2,0）离心率是3分之根号6,直线椭圆C交

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-根号2,o),(根号2,0）离心率是3分之根号6,直线椭圆C交与不同的两点M
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-根号2,o),(根号2,0）离心率是3分之根号6,直线y=t与椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.

Answer 1

（1）c=√2 带入离心率 求出椭圆方程为x²/3+y²=1
（2）因为该圆与x轴相切 y=t为一条平行x轴的直线所以半径R为t的绝对值所以t＞0时 （t，t）在椭圆上 t＜0时 （-t，t）在椭圆上 带入椭圆方程求得t=±√3/2 所以P（0，±√3/2）（这个圆心关于x轴对称，有两个坐标） （-1＜t＜1）
（3）作出具体图像可知，为使y最大，Q必然是圆与y轴的上交点（圆关于y轴对称，结合图像分析） 所以令Q（0，y）圆的半径为R 则P（0，y-R） 所以点（±R，y-R）在椭圆上，且y-R=t 所以有R²/3+（y-R）²=1 将R用t代换 得 （y-t）²/3+t²=1 所以y=±√（3-3t²）+t
又因为取最大值，所以根式符号为正 y=√（3-3t²）+√t² 接下来用换元还是求导都行，吃饭去了。

追问

第三问怎么算啊…

追答

好了回来了，第三问求出 y=√（3-3t²）+t 对求导得 导函数为-√3t/（√1-t²）+1令导函数为0 t=±1/2 分析可得t=1/2时y取极大值
代入得 y最大为2

追问

谢谢啦！懂了！

Answer 2

（Ⅰ）因为ca=

63，且c=

2，所以a=

3，b=

a2-c2=1
所以椭圆C的方程为x23+y2=1
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由

y=tx23+y2=1得x=±

3(1-t2)
所以圆P的半径为

3(1-t2)，
则有t2=3（1-t2），
解得t=±

32所以点P的坐标是（0，±

32）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以y=t±

3(1-t2)-x2≤t+

3(1-t2)
设t=cosθ，θ∈（0，π），则t+

3(1-t2)=cosθ+

3sinθ=2sin(θ+π6)
当θ=π3，即t=12，且x=0，y取最大值2．