Question

已知四边形ABCD是矩形

已知四边形ABCD是矩形,AB是圆O的直径，E是圆O上一点，过点E作EF⊥DC于F。若DF=EF=10,且弧AE=三分之一弧AB，则矩形ABCD中AD的长为
A、10（根号3-1）；B、10（根号3-1）或10（根号3+1）

Answer 1

连接OE、AE，
∵弧AE=三分之一弧AB，∴∠AOE=(1/3)×180°=60°，
∴△AOE是等边三角形，
延长EF交AB于G点，则EG⊥AB，
∴G是AO的中点，且EG平分∠AEO，
∴OG=AG=DF=10，∠OEG=30°，
在Rt△OEG中，OE=2OG=20，EG=√(OE²-OG²)=10√3，
∴AD=FG=EG-EF=10√3-10，,选A。

追问

Thank you! 这一题我们老师讲过了，本来我也选A的，但很遗憾选B，因为CD可能与圆O相离。

Answer 2

画半径OE，延长EF交直径AB与H。已知∠HOE＝60º（弧AE＝⅓hu AB），∠EHO＝30º；
∵OA－10＝OE－10＝OH＝½OE（30º所对直角边等于斜边一半），故OE＝20；
∵10＋AD＝EH＝20sin60º＝10√3,
∴AD ＝10（√3－1）。选A。