Question

1/a +1/b +1/c ≤（a的8次方+b的8次方+c的8次方）/a的3次方*b的3次方*c的3次方 证明这个不等式成立，

1/a +1/b +1/c ≤（a的8次方+b的8次方+c的8次方）/a的3次方*b的3次方*c的3次方 证明这个不等式成立，这是我们的考题，难死了，求大神帮助~

Answer 1

条件应该有a, b, c > 0.
a^8+b^8 ≥ 2a^4b^4, 于是3a^8+b^8 ≥ 2(a^8+a^4b^4) ≥ 4a^6b². 同理3c^8+b^8 ≥ 4c^6b².
故3a^8+2b^8+3c^8 ≥ 4(a^6b²+c^6b²) ≥ 8a³b²c³.
同理2a^8+3b^8+3c^8 ≥ 8a²b³c³, 3a^8+3b^8+2c^8 ≥ 8a³b³c².
相加得a^8+b^8+c^8 ≥ a²b³c³+a³b²c³+a³b³c² = a³b³c³(1/a+1/b+1/c).

如果学过多个数的均值不等式, 也可以直接得到3a^8+2b^8+3c^8 ≥ 8a³b^2c³.
至于这个拆分是怎么想到的, 请观察系数和次数的关系然后自行理解.