Question

如图,在正三棱锥ABC-A1B1C1中,点D为棱AB的中点,BC=1,AA1=√3,①求三棱锥D-A1B1C1的体积

②求证：BC1∥平面A1CD

Answer 1

^2是平方

1) 联结CD，由于△ABC是正三棱柱的底面，所以△ABC是正三角形，AC=AB=BC=1

    正三角形三线合一，则由D是AB中点，得CD⊥AB于D，且AD=AB/2=1/2

    则CD=√(AC^2-AD^2)=√(1^2-(1/2)^2)=√3/2，则S△ABC=AB*CD/2=1/√3/2/2=√3/4

    由棱柱的性质，S△A1B1C1=S△ABC=√3/4

    过D作DD1⊥A1B1于D1，则由∠ADD1=∠A1AD=∠A1D1D=90°，得四边形ADD1A1是矩形

    有DD1=AA1=√3，且DD1∥AA1，加上AA1⊥平面A1B1C1，得DD1⊥平面A1B1C1

    所以V三棱锥D-A1B1C1=S△A1B1C1*DD1/3=√3/4*√3/3=1/4

2) 联结AC1，交A1C于E，联结DE

    由于侧面ACC1A1是矩形，所以AC1、A1C互相平分，即E是AC1中点

    在△ABC1中，D、E分别是AB、AC1的中点，所以BC1∥DE

    而由于E在A1C上，所以DE在平面A1CD上，又已证BC1∥DE

    所以BC1∥平面A1CD

Answer 2

你写错了?
易知三角形ABC和三角形A1B1C1为正三角形并且边长为1
面积为√3\4
因为是正三棱柱所以三棱锥D-A1B1C1的高为√3
体积为1\3*√3\4*√3=1\4