Question

问一道高考数学题目

已知函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)(a>0)的零点为x1,x2(x1<x2)函数f(x)的最小值为y0,且y0∈[x1,x2)，则函数y=f(f(x))的零点个数是__________个

Answer 1

我来帮楼主解答吧O(∩_∩)O~
解：函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)(a>0)的零点为x1,x2(x1<x2)，说明二次函数图像开口向上，并且与x轴有2个交点。函数f(x)的最小值为y0,且y0∈[x1,x2)，说明函数f(x)的值域是[y0,无穷)。
函数y=f(f(x))的零点，也就是f(x)=x1或x2的点，又函数f(x)的值域是[y0,无穷)，y0∈[x1,x2)，那么说明f(x)只能取到x2点，那么函数y=f(f(x))的零点就只有1个。
希望对楼主有所帮助O(∩_∩)O~

追问

我也觉得是一个，但是答案说是2个或3个

追答

求函数y=f(f(x))的零点个数，也就是求f(x)=x1或x2的解得个数，y0∈[x1,x2)。
当y0=x1时，f(x)=x1的解有1个，f(x)=x2的解有2个，所以共有3个。
当x1＜y0＜x2时，f(x)=x1无解，f(x)=x2的解有2个，所以共有2个。
总之，有2个或者3个。我刚才审题没看仔细，没画图，抱歉楼主。楼主画个图做吧，举个实际数，就好做了，刚我只是用脑袋想，想错了。

Answer 2

有两个
解：依题意可知函数有两个零点，且开口向上，令y=f(x)=ax2+bx+c则f（y）=ay2+by+c
因为f（x）有两个零点，所以存在两个y的值使得f（y）=0，即y=x1或y=x2时f（y）=0
用图形解答即为，函数M=x1与函数f(x)的交点个数，加上函数N=x2与函数f(x)的交点个数之和
因为y0∈[x1,x2)，所以函数f(x)与函数M=x1无交点，而与函数N=x2有两个交点，
故y=f(f(x))的零点个数有2个，