Question

如图,在三角形ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作ED//BC交AB于点D 求（1）AE×BC=BD×AC

（2）如果S三角形ADE=3，S三角形BDE=2，DE=6，求BC的长

Answer 1

1）
BE是∠ABC平分线
AE/EC=AB/BC
AE*BC=AB*CE
ED//BC
AB/BD=AC/EC
AB*EC=BD*AC
所以AE*BC=BD*AC
2）如果S三角形ADE=3，S三角形BDE=2
S三角形ADE/S三角形BDE=(1/2AD*高)/(1/2BD*高）=3、2
AD/BD=3/2
那么AD/AB=3/5
ED//BC
那么三角形ADE相似于三角形ABC
AD/AB=DE/BC
3/5=6/BC
BC=10

Answer 2

(1), 因BE平分∠ABC，故BC/AB=CE/AE，故BC*AE=AB*CE;
因DE平行于BC，故AB/AD=AC/AE，故AB/AD-1=AC/AE-1，即AB/BD=AC/CE，故AB*CE=BD*AC，
综上得BC*AE=BD*AC。
(2),三角形ADE和三角形BDE同高不同底，因BDE面积是2，ADE面积是3，
所以AD/DB=3/2，所以AD/AB=3/5，
因为DE平行于BC，所以AD/AB=DE/BC，所以BC=DE*AB/AD=6*5/3=10。

Answer 3

1、∵BE平分∠ABC
∴∠DBE=∠CBE
∵DE∥BC
∴∠DEB=∠CBE
∴∠DBE=∠DEB
∴BD=DE
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC
∠AED=∠ACB
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AE/AC
∴BD/BC=AE/AC
即AE×BC=BD×AC
2、∵△ADE和△BDE在AB边上等高
∴S△ADE/S△BDE=AD/BD=3/2
即AD/(AD+BD)=3/(3+2)
AD/AB=3/5
∵△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=3/5
BC=5/3DE=5/3×6=10