Question

数列｛Xn｝中，X1>0，a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)。

判断数列{Xn}的极限是否存在；若存在，求x->无穷时数列的极限
PS主要证明数列递减？（关键：为什么a/Xn²≤1）

Answer 1

首先xn≥√a,n≥2
x(n+1) - xn = 1/2(a/xn - xn) <0
所以x(n+1)≥xn≥√a
所以{Xn}的极限存在
设极限为x，对数列两边取极限，有
x = 1/2(x+a/x)
x=√a(取正根)

Answer 2

强烈要求加分。
这个就是差分方程，关于他的解都有定论
Xn+1 - 根号a=1/2（根号Xn - 根号（a/Xn））^2
Xn+1 + 根号a=1/2（根号Xn + 根号（a/Xn））^2

(Xn+1 - 根号a)/(Xn+1 + 根号a) = [(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) ]^2

因此
(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) = [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^（2^(n-1)）
显然
|(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a)|<1
那么
lim （n趋于无穷）(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a)
=lim （n趋于无穷） [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^（2^(n-1)）
=0

那么显然
lim （n趋于无穷）Xn =根号a