数列{Xn}中,X1>0,a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)。

判断数列{Xn}的极限是否存在;若存在,求x->无穷时数列的极限PS主要证明数列递减?(关键:为什么a/Xn²≤1)... 判断数列{Xn}的极限是否存在;若存在,求x->无穷时数列的极限
PS主要证明数列递减?(关键:为什么a/Xn²≤1)
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玄色龙眼
2013-01-29 · 知道合伙人教育行家
玄色龙眼
知道合伙人教育行家
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本科及研究生就读于北京大学数学科学学院

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首先xn≥√a,n≥2
x(n+1) - xn = 1/2(a/xn - xn) <0
所以x(n+1)≥xn≥√a
所以{Xn}的极限存在
设极限为x,对数列两边取极限,有
x = 1/2(x+a/x)
x=√a(取正根)
来自:求助得到的回答
帮你学习高中数学
2013-01-29 · TA获得超过3020个赞
知道大有可为答主
回答量:2080
采纳率:50%
帮助的人:1893万
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强烈要求加分。
这个就是差分方程,关于他的解都有定论
Xn+1 - 根号a=1/2(根号Xn - 根号(a/Xn))^2
Xn+1 + 根号a=1/2(根号Xn + 根号(a/Xn))^2

(Xn+1 - 根号a)/(Xn+1 + 根号a) = [(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) ]^2

因此
(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) = [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^(2^(n-1))
显然
|(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a)|<1
那么
lim (n趋于无穷)(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a)
=lim (n趋于无穷) [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^(2^(n-1))
=0

那么显然
lim (n趋于无穷)Xn =根号a
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