数列{Xn}中,X1>0,a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)。
判断数列{Xn}的极限是否存在;若存在,求x->无穷时数列的极限PS主要证明数列递减?(关键:为什么a/Xn²≤1)...
判断数列{Xn}的极限是否存在;若存在,求x->无穷时数列的极限
PS主要证明数列递减?(关键:为什么a/Xn²≤1) 展开
PS主要证明数列递减?(关键:为什么a/Xn²≤1) 展开
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强烈要求加分。
这个就是差分方程,关于他的解都有定论
Xn+1 - 根号a=1/2(根号Xn - 根号(a/Xn))^2
Xn+1 + 根号a=1/2(根号Xn + 根号(a/Xn))^2
(Xn+1 - 根号a)/(Xn+1 + 根号a) = [(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) ]^2
因此
(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) = [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^(2^(n-1))
显然
|(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a)|<1
那么
lim (n趋于无穷)(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a)
=lim (n趋于无穷) [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^(2^(n-1))
=0
那么显然
lim (n趋于无穷)Xn =根号a
这个就是差分方程,关于他的解都有定论
Xn+1 - 根号a=1/2(根号Xn - 根号(a/Xn))^2
Xn+1 + 根号a=1/2(根号Xn + 根号(a/Xn))^2
(Xn+1 - 根号a)/(Xn+1 + 根号a) = [(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) ]^2
因此
(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) = [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^(2^(n-1))
显然
|(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a)|<1
那么
lim (n趋于无穷)(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a)
=lim (n趋于无穷) [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^(2^(n-1))
=0
那么显然
lim (n趋于无穷)Xn =根号a
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