Question

已知定义在r上的函数f(x)等于2x次方+1分之a-2x次方是奇函数 求实数a的值 判断f(x)的单调性,并证明

Answer 1

f(x)=(a-2^x)/(2^x+1) 吗?

追问

跪求帮解出来

追答

f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)
即 (a-2^(-x))/(2^(-x)x+1)=-(a-2^x)/(2^x+1)
a*2^x-1=2^x-a
(a-1)2^x=1-a
因上式对任何x都成立, 所以 a-1=0, a=1

f(x)=(1-2^x)/(1+2^x)
f'(x)=((1-2^x)'(1+2^x)-(1-2^x)(1+2^x)')/(1+2^x)²
=(-2^xln2(1+2^x)-(1-2^x)(2^xln2))/(1+2^x)²
=2^xln2(2^x-1-1-2^x)/(1+2^x)²
=-2ln2*2^x/(1+2^x)²
因此, f'(x)<0
f(x) 单调递减