Question

fx=(x-a)的绝对值，gx=ax。y=fx是偶函数求a。a>0时求y=fxgx在[1，2]最大值

、

Answer 1

解 ：y=f(x)=|x-a|为偶函数，则
f(1)=f(-1)
得|1-a|=|-1-a|=|1+a|
解得a=0

a>0时，y=f(x)g(x)=|x-a|*ax
①当0<a≤2时，x≥a/2，y=f(x)g(x)=|x-a|*ax=ax(x-a)=a[(x-a/2)^2]-a^3/4
其最大值为
ymax=y(2)=f(2)g(2)=2a(2-a)
②当2<a<4时，a/2∈(1,2)，x∈[1,2]，y=f(x)g(x)=|x-a|*ax=ax(x-a)=a[(x-a/2)^2]-a^3/4
其最大值在x=1或x=2处取得。
y(1)=a(1-a)
y(2)=2a(2-a)
则y(1)-y(2)=a(1-a)-2a(2-a)=a(a-3)
故：
当2<a≤3时，y(1)-y(2)≤0，故最大值为
y(2)=2a(2-a)；
当3<a<4时，y(1)-y(2)>0，故最大值为
y(1)=a(1-a)；
③当a≥4时，a/2≥2，x∈[1,2]，y=f(x)g(x)=|x-a|*ax=ax(x-a)=a[(x-a/2)^2]-a^3/4
其最大值为
ymax=y(1)=f(1)g(1)=a(1-a)
不明白请追问。

Answer 2

1. f(x)=|x-a|，当a=0时，y=f(x)为偶函数
2. y=f(x)g(x)=a|x-a|x，a>0
(1) 当0<a≤1时：
在x∈[1,2]上有x≥a，于是y=ax(x-a)， 在x∈[1,2]上递增，所以ymax(x)=y(2)=2a(2-a)；
∵0<a≤1，∴当a=1时y(2)最大，y(2)=2。
(2) 当1≤a≤2时：
若x∈[1,a)，则有y=ax(a-x)，在x∈[1,a)上递减，ymax(x)=y(1)=a(a-1)，
∵1≤a≤2，∴a=2时 y(1)最大，y(1)=2；
若x∈[a,2]，则有y=ax(x-a)，在x∈[a,2]上递增，ymax(x)=y(2)=2a(2-a)，
∵1≤a≤2，∴a=1时 y(2)最大，y(2)=2；
(3) 当a≥2时，在x∈[1,2]上有x≤a，于是y=ax(a-x)
当x=a/2∈[1,2]，即2≤a≤4时，ymax=y(a/2)=a³/4，a=4时，y(a/2)最大，y(a/2)=y(2)=16；
当a≥4时，在x∈[1,2]上ymax(x)=y(2)=2a(a-2)，当a→∞，y(2)=2a(a-2)→∞，不存在最大值。
综上所述，当a≤4时，y在[1,2]上的最大值为16，在a=4，x=2时取到；当a>4时，y在[1,2]上的最大值为2a(a-2)，在x=2时取到，且该最大值随着a的增大而增大。