Question

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已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x-√3y+5=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）

Answer 1

　　抛物线方程是y²=4x吧？

　　解：∵点P在抛物线y²＝4x上，设P（m²/4，m），则d1＝m²/4；
　　d2＝｜m²/4－√3m＋5｜/√（1＋3）＝｜m²－4√3m＋20｜/8。
　　∵m²－4√3m＋20＝（m²－4√3m＋3）＋17＝（m－2√3）²＋5＞0，
　　∴d1＋d2＝m²/4＋（m²－4√3m＋20）/8＝1/8（3m²－4√3m＋20）
　　＝1/8［（√3m－2）²＋16］≧1/8（0＋16）＝2。
　　∴d1＋d2的最小值是2。

Answer 2

∵点P在抛物线y^2＝4x上，∴可令点P的坐标为（m^2/4，m）。
显然，d1＝m^2/4、d2＝｜m^2/4－√3m＋5｜/√（1＋3）＝｜m^2－4√3m＋20｜/8。
∵m^2－4√3m＋20＝m^2－4√3m＋3＋17＝（m－√3）^2＋17＞0，
∴d1＋d2
＝m^2/4＋（m^2－4√3m＋20）/8＝（1/8）（3m^2－4√3m＋20）
＝（1/8）［√3m－2）^2＋16］≧（1/8）（0＋16）＝2。
∴（d1＋d2）的最小值是2。