Question

已知x²/4+y²=1，设直线L与椭圆交不同两点A，B，若A（-2，0）

若|AB|=4根号2/5，求直线L的倾斜角。

Answer 1

设A(x1,y1) B(x2,y2)
设直线方程：y=kx+b 将A(-2，0)代入
b=2k
直线方程：y=kx+2k 代入椭圆方程
x²/4+k²(x+2)²=1 化简后：(4k²+1)x²+16k²x+16k²-4=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
x1+x2=-16k²/(4k²+1) ①
x1·x2=(16k²-4)/(4k²+1) ②
①²-4×②
(x1-x2)²=256k^4/(4k²+1)²-(64k²-16)/(4k²+1)
=16/(4k²+1)·[16k^4-(4k²+1)(4k²-1)]/(4k²+1)
=16/(4k²+1)²·(16k^4-16k^4+1)
=16/(4k²+1)²
|x1-x2|=4/(4k²+1)
|y1-y2|=|kx1+2k-kx2-2k|=|k||x1-x2|

|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(k²+1)·|x1-x2|
=4√(k²+1)·/(4k²+1)
|AB|=4√2/5
4√(k²+1)·/(4k²+1)=4√2/5
5√(k²+1)=√2(4k²+1)
25(k²+1)=2(16k^4+8k²+1)
32k^4-9k²-23=0
32(k^4-9k²/32+81/4096)=23+81/128
(k²-9/64)²=3025/4096
k²=9/64±55/64 舍去负解
k²=1 k=±1
所以直线L的倾斜角为45°或135°

Answer 2

设直线L的方程是y=k(x+2)

代入到椭圆方程中有:x^2/4+k^2(x^2+4x+4)=1
(1+4k^2)x^2+16k^2x+16k^2-4=0
x1+x2=-16k^2/(1+4k^2),x1x2=(16k^2-4)/(1+4k^2)
|x1-x2|^2=(256k^4/(1+4k^2)^2-4(16k^2-4)/(1+4k^2)=(256k^4-4(16k^2+64k^4-4-16k^2))/(1+4k^2)^2=(16)/(1+4k^2)^2
AB=根号(k^2+1)*|x1-x2|=4根号2/5
即有:根号(K^2+1)*4/(1+4K^2)=4根号2/5
得到K^2=1
K=(+/-)1
即直线L的倾斜角是45度或135度.