Question

如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是

如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

∵∠BAC = 60° ;∠ACB＝40° ∴∠ABC＝80°
又AP 平分∠BAC ； BQ 平分∠ABC
∴∠BAP=∠CAP=30° ; ∠ABQ=∠CBQ=40°

∴∠CBQ=∠BCQ＝40° ∴BQ＝CQ

∴BQ＋AQ=CQ＋AQ=AC

延长AB至P' 使BP'=BP 连PP'
∴∠AP'P=∠ACP＝40°

在⊿AP'P与⊿ACP中
∠P'AP＝∠CAP

∠P'=∠C ∴⊿AP'P≌⊿ACP
AP=AP ∴AB+BP'=AP'=AC
∴BQ+AQ=AB+BP=AC 即BQ+AQ=AB+BP

Answer 2

证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，
∠3=∠4=40°=∠C．
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD与△APC中，
AP=AP，
∠1=∠2，∠D=∠C=40°
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．