用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的正整数.问:能被3整除的四位数有多少个?
分析:被3整除的数字要求数字之和能被3整除,0,3一组,1,5一组,2,4一组,1,2一组,45一组.包括两种情况,一是包含0,3的,需要先从余下的非0数字中选一个做首位...
分析:被3整除的数字要求数字之和能被3整除,0,3一组,1,5一组,2,4一组,1,2一组,45一组.包括两种情况,一是包含0,3的,需要先从余下的非0数字中选一个做首位,剩下的三个数字任意放,二是不含0,3的,随便排,根据加法原理得到结果.
请问各位前辈,为什么说被3整除的数字要求数字之和能被3整除呢?而且,如果这个四位数是1403呢?它并不能被3整除,但却满足当这个四位数包含0,3时,取余下的非零数字首位,然后再从剩下的三个数字选一个放在第二位,共有4A31A33=72种结果啊?
麻烦各位帮我讲解下~ 非常感谢~ 展开
请问各位前辈,为什么说被3整除的数字要求数字之和能被3整除呢?而且,如果这个四位数是1403呢?它并不能被3整除,但却满足当这个四位数包含0,3时,取余下的非零数字首位,然后再从剩下的三个数字选一个放在第二位,共有4A31A33=72种结果啊?
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1个回答
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为什么说被3整除的数字要求数字之和能被3整除呢?
假设有一个三位数,百、十、个位分别是a、b、c,且a+b+c是3的整数倍,证明:这个三位数可被3整除.
三位数可以写为:100*a+10b+c= 99a+9b+(a+b+c)
因为99a、9b和(a+b+c)都可以被3整除,所以100*a+10b+c也可被3整除。
依此类推,所有自然数中,被3整除的数字要求数字之和能被3整除
本题可如下解:
0+1+2+3+4+5=17
要想使取得的四位数可以被3整除,则必须剔除的两数和是2或5或8
剔除的两数和是2的:只有0、2这一组
剔除的两数和是5的:只有0、5 和 1、4 和 2、3这三组
剔除的两数和是8的:只有3、5这一组
因此共有5组这样的四位数,其中有三组中含有0,两组不含0
含0的四位数,0不能放前面,排法:4!-3!=18
不含0的四位数,排法:4!=24
所以共有排法有: 3(4!-3!)+2*4!=102
假设有一个三位数,百、十、个位分别是a、b、c,且a+b+c是3的整数倍,证明:这个三位数可被3整除.
三位数可以写为:100*a+10b+c= 99a+9b+(a+b+c)
因为99a、9b和(a+b+c)都可以被3整除,所以100*a+10b+c也可被3整除。
依此类推,所有自然数中,被3整除的数字要求数字之和能被3整除
本题可如下解:
0+1+2+3+4+5=17
要想使取得的四位数可以被3整除,则必须剔除的两数和是2或5或8
剔除的两数和是2的:只有0、2这一组
剔除的两数和是5的:只有0、5 和 1、4 和 2、3这三组
剔除的两数和是8的:只有3、5这一组
因此共有5组这样的四位数,其中有三组中含有0,两组不含0
含0的四位数,0不能放前面,排法:4!-3!=18
不含0的四位数,排法:4!=24
所以共有排法有: 3(4!-3!)+2*4!=102
追问
你好,谢谢你的回答,但我还想问下为什么你说“要想使取得的四位数可以被3整除,则必须剔除的两数和是2或5或8”呢?这是根据什么判断的?
追答
不好意思,粗心大意算错了,六个数之和是15,而取四个数之和必须是3的倍数,即剔除的两数之和也必须是3的倍数。
剔除的两数和是3的:只有0、3和 1、2 这两组
剔除的两数和是6的:只有1、5 和 2、4 这两组
剔除的两数和是9的:只有4、5这一组
因此共有5组这样的四位数,其中有四组中含有0,一组不含0
含0的四位数,0不能放前面,排法:4!-3!=18
不含0的四位数,排法:4!=24
所以共有排法有: 4(4!-3!) + 4!=96
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