Question

已知：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，以该梯形的下底为X轴，对称轴为Y轴建立如图所示的直角坐标系

已知：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，以该梯形的下底为X轴，对称轴为Y轴建立如图所示的直角坐标系，已知A点的坐标为（-2，4），C点的坐标为（4，0）。试在Y轴上找一点P，使|PC-PA|的值最大，求出此时点P的坐标及最大值。

Answer 1

由A(-2，4)知：D(2，4)，
设直线 DC解析式为：Y=KX+b得方程组：
0=4K+b
4=2K+b
解得：K=-2，b=8，
∴Y=-2X+8，
令X=0得Y=8，
∴P(0，8)。
最大值=BC=√［(4-2)^2+4^2］=2√5。

Answer 2

设P(0,y),根据题意得|PC-PA|=|√((0-4)^2+(y-0)^2)- √((0+2)^2+(y-4)^2)|
= |√(16+y^2)- √(4+(y-4)^2)|=f(y),求一、二阶导数，
f(y)’=2y/√(16+y^2)- 2(y-4)/√(4+(y-4)^2),
f(y)’’=32/ (16+y^2)^(3/2)- 8/√(4+(y-4)^2)^(3/2)
令f(y)’=0,解得：y1=8, y2=8/3
当y1=8时，f(y)’’=0，f(y)=2*√5,P(0,8)
当y0=8/3时，f(y)’’<0,在P(0,8/3)点有极大值=2/3*√13<2*√5
所以，P的坐标为(0,8)，|PC-PA|最大值=2*√5