Question

初二数学（平行四边形、矩形）

如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CH、DG分别平分内角平分线，这四条角平分线分别交于点M、N、P、Q。试问：四边形MNPQ是什么图形？说明理由。

Answer 1

矩形
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠ADC+∠BCD=180°
而DG,BF分别为角它们的角平分线，∴∠GDC=∠ABF=∠BFC，即GD∥BF
同理可证∠DCH=∠DEA，即AE∥CH
又∵∠ADC+∠BCD=180°，而CH平分∠BCD∴∠DHC+∠CDG=90°
∴△CDQ是直角△，即∠CQD=90°
由上所推可得四边形MNPQ是矩形。

追问

∴∠DHC+∠CDG=90°，为什么

追答

打错了,不好意思
∴∠DHC+∠CDG=90°应该是∴∠DCQ+∠CDQ=90° ∴∠CQD=90°

追问

∴∠DCQ+∠CDQ=90° ，为什么

追答

∵∠ADC+∠BCD=180°，
而CH平分∠BCD、DG平分∠ADC
1/2∠BCD+1/2∠ADC=90°
也就是∠DCQ+∠CDQ=90°

Answer 2

平行四边形
角F=角B的一半=角D的一半=角GDC 同位角相等两直线平行 BF平行于DG
同理CH平行于AE
得平行四边形

Answer 3

矩形
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠ADC+∠BCD=180°
而DG,BF分别为角它们的角平分线,2∠ABN+2∠BAE=180°∴2（∠ABN+∠BAE）=180°，∠ABN+∠BAE=90°，∴在△ABN中，∠ANB=180°-90°=90°∴同理可证∠DCH=∠DEA，即AE∥CH
又∵∠ADC+∠BCD=180°，而CH平分∠BCD∴∠DHC+∠CDG=90°
∴△CDQ是直角△，即∠CQD=90°
由上所推可得四边形MNPQ是矩形。