Question

什么函数连续不一定可导，求举例。

Answer 1

函数f（x）=|x|。这个函数在x=0点处连续，但是这个函数在x=0点处的左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等，所以这个函数在x=0这点不可导。

还有函数f（x）=三次方根号下x，这个函数在x=0点处也连续，但是求导时，f（x）在x=0点处的导数为无穷大，所以不可导。

x的三分之一次幂在x=0处不可导，是因为x的三分之一次幂在x=0处虽然有切线，但是切线垂直于x轴。

|x|在x=0点处不可导，是因为|x|在x=0点处没有切线，可不能认为|x|在x=0点处有两条切线，一条为y=x，另一条为y=-x，从左右两边各算出或画出两条不相同的“切线”，就是说在这点没切线。

切线都不存在，当然切线的斜率也就不存在了，那么导数也就不存在了。

扩展资料：

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

设函数  在点  的某个邻域内有定义，如果有  ，则称函数在点  处连续，且称  为函数的的连续点。

设函数在区间  内有定义，如果  在  的左极限存在且等于  ，即  ，那么就称函数在点 左连续。

一个函数在开区间  内每点连续，则为在  连续，若又在  点右连续，  点左连续，则在闭区间  连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

参考资料：百度百科——连续函数

Answer 2

函数f（x）=|x|。这个函数在x=0点处连续，但是这个函数在x=0点处的左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等，所以这个函数在x=0这点不可导。
还有函数f（x）=三次方根号下x，这个函数在x=0点处也连续，但是求导时，f（x）在x=0点处的导数为无穷大，所以不可导。

追问

那要是这么说，任意一个函数左右两边导数都不一样啊

追答

不是的啊，例如函数f（x）=x²，在x=0这点的左右导数都是0，那么在这点的导数就是0。
此外f（x）=x²，在x=1这点的左右导数都是2，那么在x=1这点的导数就是2，你怎么会认为任何函数的左右导数都不一样呢？
是不是一样，要算出来才知道啊。
你看看可导的定义，必须要左右导数都相等，才叫可导，不相等的，不叫可导。
这就和极限定义中，左右极限都相等，才叫有极限，左右极限不相等，就叫无极限类似。

追问

那么函数y＝2x³也是连续并且可导的吧，在0左右两个导数都是0

追答

对啊，这个函数在整个实数范围内都是可导的。
我是说x的3次方根这个函数，也就是y＝2x³的反函数，在x=0这点不可导。在图像上就是x的3次方根这个函数在x=0这点的切线是垂直于x轴的，其实就是y轴，斜率为无穷大，所以不可导。

追问

照你说的带公式，2x³导函数6x，把0带进去还是0啊

这个可不可倒看图像?

我有点蒙圈。。

追答

2x³导函数6x，那么当x=0的时候，导函数为0，所以2x³在x=0这点的导数是0，这没问题啊。你有什么疑问？

追问

为什么在0不可导

不可导和斜率是0是一回事吗

追答

你怎么总是把我的话错解？我明明说，斜率为0的时候，导数就是0，当然是可导。（我的图片上还特意写了，我没说y=2x³在x=0这点无导数）
你就这么坚决的强调，我说斜率为0时，没导数。你这不是在冤枉我吗？
我是说斜率无穷大的时候，就不可导。因为切线的斜率就是切点处的导数值。所以如果切点处的切线斜率为0，那么这点的导数就为0，就可导。
如果切点处的切线和x轴垂直，那么切线斜率为无穷大，那么导数也就是无穷大，即没有导数。
而且你问为什么在0不可导？你是问哪个函数在0这点不可导？我是画了两个函数的，一个可导，一个不可导。

追问

。。

负责

x的三次方跟在x等于0叫斜率无穷大?

追答

你不要减少我话里面的字，减少了就变成你说的这样无法理解的东西了。
我不是说x的三次方跟在x等于0叫斜率无穷大，我是说x的三次方跟在x等于0点处的切线的斜率是无穷大。斜率是直线才有的东西，x的三次方跟是个曲线，当然没啥斜率可说。但是曲线的切线是直线，这个直线是有斜率的。
x的三次方跟（如我画的图片中，下面那个曲线），在x=0点处的切线是y轴，y轴的斜率是无穷大。如果你不明白为什么轴的斜率是无穷大，那么你就应该先把斜率的概念弄清楚。
现在感觉你有很多概念都很混乱，先是什么是导数，什么叫导数不存在不明白。导数的几何意义不明白。切线是什么不明白。这些东西都不明白的话，很难继续学下去。必须都补上才行。本来学习导数这个概念之前，就应该把切线、斜率弄明白的。然后再学习导数的时候，应该从几何上知道导数的几何含义。这样学习才能真正的学会。

追问

你画的也不平行于y轴啊

追答

这是手画的啊，又不是什么机器画的，你还真的拿量角器去量？那我真服了你了。

追问

这个我同学说用定义做?

追答

可以用定义啊，你问的是，函数连续不一定可导，那么我举的例子中有f（x）=|x|，你可以用这个函数来用定义取做嘛，这个用定义就比较简单。一下子就知道连续函数可以不可导。

追问

定义是啥哈哈哈

追答

导数的定义。左导数，则只按x0点左边区域的函数式求导，右导数就只按x0点的右边区域的函数式求导。

追问

这个和定义有啥关系啊

你怎么知道x的三次方跟图像在0处垂直于x轴

求导之后结果是0啊。

我可以＋悬赏求解释

追答

如果只是做到（3次根号x）/x，是不行的，不能因为这个式子的分子极限是0，就认为这个极限是0，那这样的话，根据导数定义公式，分子都是0，因为分母的极限也是0，所以约分后，分子极限不是0，分母极限是0，因此极限是无穷大。

追问

我知道

那么高中的时候咋没说，直接求导公式算出来就是0，也没说什么可不可导

追答

不可能，高中的时候要不就没学3次根号x的导数，学了一定不会说导数是0，应该说的是极限是0，3次根号x在x=0点处的极限是0，导数是不存在。这些都必须分清楚。而且3次根号x的求导公式求出导函数，导函数在x=0处也是没定义的。

追问

x的三分之一次幂啊

求导学了

追答

x的三分之一次幂的导函数是1/（3*x的三分之二次幂），
网上随便搜搜都能搜到x的n次幂的导数是n（x的n-1次幂）
所以1/（3*x的三分之二次幂）是不能有x=0的。

追问

0的任何次幂不还是0吗

追答

怪不得你这么肯定的认为书上说x的三分之一次幂的导数是0，原来你居然认为0的任何次幂都是0，你也认真的看看书啦。虽然毕业这么多年了，我是很清楚的记得，书上特意说明了：

0没有0次幂，0的0次幂无意义。
0没有负数次幂，0 的负数次幂无意义。
原因是：
某个数的0次幂是这个数的1次幂除以1次幂得来的。但是因为0的1次幂是0，0÷0无意义，所以0没有0次幂。
某个数的负数次幂，等于对应的正数次幂的倒数，例如2的-2次幂=1÷（2的2次幂），但是因为0的正数次幂是0，没有倒数，所以0没有负数次幂。
这么重要的两个特别规定，你居然不记住。怎么行？

追问

。。。

那就是说只要在某点处的函数图像不垂直于x轴。就可导呗。

追答

那就是说只要在某点处的函数图像不垂直于x轴。就可导呗。

记住啊，你又把我话里面的“切线”两个字没写上。
应该是说只要在某点处的函数图象上的切线不垂直于x轴，就可导。
但是还是有个前提，那就是必须得有切线。
前面说的连续不可导，说了两个函数，刚好是不可导的两种情况。
x的三分之一次幂在x=0处不可导，是因为x的三分之一次幂在x=0处虽然有切线，但是切线垂直于x轴。
|x|在x=0点处不可导，是因为|x|在x=0点处没有切线，可不能认为|x|在x=0点处有两条切线，一条为y=x，另一条为y=-x，从左右两边各算出或画出两条不相同的“切线”，就是说在这点没切线。
切线都不存在，当然切线的斜率也就不存在了，那么导数也就不存在了。

追问

可算来了哈哈

y＝-x这个函数图像，当x趋近于3时候，极限是-3?

。那么这是说从左趋近还是从右趋近呢

追答

昨晚夜班，一晚没觉睡。现在是中午起来吃点中饭，等会继续睡觉。已经上班的人，就是这么麻烦。

追问

一会给你＋悬赏

啥情况

追答

y＝-x这个函数图像，当x趋近于3时候，极限是-3，那么这是说从左趋近还是从右趋近呢？
就是因为无论是从左趋近还是从右趋近，得到的极限都是-3，所以这个函数在x=3这个点的极限是-3，而且这个极限刚好等于函数在x=3时的函数值，所以这个函数在x=3这点连续。然后这个函数在x=3这点无论是从左趋近还是从右趋近，导数都是-1，所以这个函数在x=3这点导数为-1.

追问

还有一个提

哈哈

重要极限

为什么不一样啊这两个x的 取值

。。

追答

因为第一个是x*sin（1/x），正弦外面的是x，正弦里面的是1/x，所以这个题目的是求x→∞时的极限，当x→∞的时候，x的极限是∞，sin（1/x）的极限是无穷小，所以这个函数在x→∞时的极限就是∞*0这种未定式形式，必须进行转换或变形后求出来，事实上是根据下面的第二个函数式极限来求出来的。
第二个是（1/x）*sinx，正弦外面的是1/x，正弦里面的是x（和第一个刚好反过来），而这个函数当x→0的时候分子和分母的极限都是0，成为0/0的未定式形式。这个函数极限是个经典的极限式，极限是1，这个很多书上都有证明.我们很多极限证明，计算中，都经常用到这个极限式。
有了第二个lim（x→0）（sinx/x）=1后，
再来看第一个lim（x→∞）（x*sin（1/x））
令t=1/x
得到lim（x→∞）（x*sin（1/x））=lim（t→0）（sint/t）
这样就转换为第二个函数极限了。所以第一个也是等于1

追问

厉害

追答

如果想明白了，就请采纳吧。这个题目已经答了你很多回了。

追问

qq多少大神，以后我可＋悬赏

如何＋悬赏

下面这个咋分析

追答

悬赏就不用加了，我也没提过问题，所以不会加悬赏。我没qq了，已经起码5年没用过qq了。

追问

例题5第一个式子为什么化成了1/3x平方?

这种类型得体把x带进去分子分母全是 0怎么处理。

。

没有极限就没有导数吗

服了

Answer 3

比如f(x)=|x|，此函数在x=0点处连续，但这个函数在x=0-点的导数为-1，0+时导数为1，左右导数不等，所以这个函数在x=0点不可导。

Answer 4

y=|x| 在 x=0处连续，但左导数为-1，右导数为1，所以 在 x=0处不可导。

追问

那也可导啊

只不过导数不同啊

Answer 5

f（x）=|x|就是一个经典的反例，在x=0处连续，但不可导。