Question

已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+3,数列{bn}中,b1=1,且点(bn+1,bn),在直线y=x-1上

⑴求数列{an}的通项公式;⑵求数列{bn}的通项公式;⑶若cn=an+3,求数列{bncn}的前n项和Sn.

Answer 1

解：
(1)
a(n+1)=2an+3
a(n+1)+3=2an+6=2(an+3)
[a(n+1)+3]/(an+3)=2，为定值
a1+3=1+3=4，数列{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列
an+3=4·2ⁿ⁻¹=2ⁿ+¹
an=2ⁿ+¹ -3
n=1时，a1=2²-3=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ+¹ -3
(2)
x=b(n+1)，y=bn代入y=x-1
bn=b(n+1)-1
b(n+1)-bn=1，为定值
b1=1，数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列
bn=1+1·(n-1)=n
数列{bn}的通项公式为bn=n
(3)
cn=an+3=2ⁿ+¹ -3+3=2ⁿ+¹
bn·cn=n·2ⁿ+¹
Sn=b1+b2+b3+...+bn=1·2²+2·2³+3·2⁴+...+n·2ⁿ+¹
2Sn=1·2³+2·2⁴+...+(n-1)·2ⁿ+¹+n·2ⁿ+²
Sn-2Sn=-Sn=2²+3³+...+2ⁿ+¹-n·2ⁿ+²
=4·(2ⁿ-1)/(2-1) -n·2ⁿ+²
=(1-n)·2ⁿ+² -4
Sn=(n-1)·2ⁿ+² +4