Question

常系数齐次线性微分方程和可降阶的高阶微分方程的区别

3,2,y''=f(y,y')型的微分方程
此类方程特点是 方程右端不显含自变量x.
作变量代换y'=P（y）
常系数齐次线性微分方程不也满足这种情况吗?为什么不用那种方法,是不好分离变量吗?

Answer 1

常系数齐次线性微分方程当然也是y''=f(y,y')型的。

但解，y''=f(y,y')型的微分方程需要积两次分，比较麻烦，而常系数齐次线性微分方程由于其方程的特殊性，可以通过特殊方法，不用积分，而转化成解一元二次的代数方程，这比作变量代换y'=P（y）再积分要简单的多。

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Answer 2

常系数齐次线性微分方程当然也是y''=f(y,y')型的，但解,y''=f(y,y')型的微分方程需要积两次分，比较麻烦，而常系数齐次线性微分方程由于其方程的特殊性，可以通过特殊方法，不用积分，而转化成解一元二次的代数方程，这比作变量代换y'=P（y）再积分要简单的多。

Answer 3

如果是一元的当然没问题，不过常系数其次方程大多是多元方程组，怎么做代换。如果强行做线性代换，会得到一个高阶微分方程，大体上有几个变元就是几阶微分方程，怎么来算啊。

Answer 4

可降阶y"＝f(y,y')型，存在有时不好分离，函数存在需要两次换元的情况。而一阶常系数齐次线性特征根也属于可降阶的情况，但由于特征根的关系用公式则更好计算。两者区别在于可降阶无论高阶低阶都可以做，而线性一阶特征根只适合一阶线性套公式更方便。

Answer 5

你说的很正确。对于二姐齐次线性微分方程，可以做变换降阶求解。但不是变换
y'=P（y），该变换使得线性方程变成非线性方程。