Question

一道关于不定积分的题目，求各位高手解答！

看不懂书上的过程最后几步里面怎么不定积分就变C（常数）了呢？请高手写出步骤和思路，谢谢了！

Answer 1

用分部积分法

其中(1/(xe^x))' = - (x + 1)/(x²e^x)，之后两项积分抵消

Answer 2

∫ [xf′（x）-(1+x)f(x) ]/x²e^x dx
= ∫ [xf′（x）-f(x) ]/x²e^x dx- ∫ xf(x)/x²e^x dx
= ∫ [[xf′（x）-f(x) ]/x²]•e^(-x) dx- ∫ f(x)/xe^x dx
= ∫ (f(x)/x)′•e^(-x) dx - ∫ f(x)/xe^x dx
= ∫ e^(-x) d(f(x)/x) - ∫ f(x)/xe^x dx
= ( e^(-x)•(f(x)/x) － ∫(f(x)/x)de^(-x) )－ ∫ f(x)/xe^x dx
= ( e^(-x)•(f(x)/x) + ∫(f(x)/x)•e^(-x) dx)－ ∫ f(x)/xe^x dx
= e^(-x)•(f(x)/x) + ∫(f(x)/x)•e^(-x) dx－ ∫ f(x)/xe^x dx
= e^(-x)•(f(x)/x) +C
= f(x)/(xe^x) +C

【虽然 ∫(f(x)/x)•e^(-x) dx和－ ∫ f(x)/xe^x dx不定积分中的积分函数一样。但求出的原函数 +C的一个定值可不一样。
例如 ：设∫(f(x)/x)•e^(-x)原函数为F(x),存在如下可能
∫(f(x)/x)•e^(-x) dx－ ∫ f(x)/xe^x dx=（F（x）+5）-(F(x)+1)=4，得出的结果中还存在不定常数，因此相减后还应+C】