Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（-1,0），B（3,0）C（0,3）三点，直线L是抛物线的对称轴。

（2）设点P是直线L上的一个动点，当三角形PAC的周长最小时，求点P的坐标
（3）在直线L上是否存在点M，使三角形MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标

Answer 1

解：将点A、B、C三点坐标代入抛物线方程，得a-b+c=0;9a+3b+c=0;c=3.解得a=-1；b=2；c=3.于是，抛物线方程为y = -x^2+2x+3.其对称轴为x=1.

（2）由上述结论，点A关于轴x=-1的对称点为A’（3,0），由|AP|=|A’P|，知|PA|+|PC|的最小值为|A‘C|=√10.此时三角形PAC周长最小，设P（1，y），由AP、PC斜率相等，得y/2=y-3，解得P（1,6）.

（3）假设存在点M（1，y’），使|CM|=|AM|，即√（1+（y‘-3）^2）=√（4+y’^2），解之，得y‘=1.即存在点
M（1,1），使得三角形MAC为等腰三角形。

Answer 2

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（-1,0），B（3,0）C（0,3）三点，直线L是抛物线的对称轴。
a=-1
b=2
c=3
y=-x^2+2x+3
直线L:x=1
（2）设点P是直线L上的一个动点，当三角形PAC的周长最小时，求点P的坐标
P(1,y)
当三角形PAC的周长最小时，PA+PC最小，此时P在(-1,0),(2,3)所在的直线M与直线L的交点上
直线M：k=(0-3)/(-1-2)=1
y-3=1*(x-2)
y=x+1
x=1
两式联立
x=1,y=2
P(1,2)
（3）在直线L上是否存在点M，使三角形MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标
M(1,m)
MA=MC
1-(-1)=√[(1-0)^2+(m-3)^2]
m=3±√3
M1(1,3+√3)
M2(1,3-√3)
CA=CM
√[(-1-0)^2+(0-3)^2]=√[(1-0)^2+(m-3)^2]
m=0,m=6
M3(1,0)
M4(1,6)
AC=AM
√[(-1-0)^2+(0-3)^2]=√[(-1-1)^2+(0-m)^2]
m=±√6
M5(1,√6)
M6(1,-√6)

Answer 3

（2）由A、B、C三点可得，抛物线的解析式为：y=-2x^2+5x+3;
由于P在对称轴L上，所以设P为（1，y）
当三角形PAC周长C最短时，即AP+PC+AC的和最短，
即C=|AC|+|PA|+|PC|=
(3)有两个点。①AC为边，此时另一点为L与x轴的交点；
②AC为底边，另一点在AC的中垂线与L的交点。
具体的过程和步骤，自己应该多多练习，做题才会熟练。
谢谢采纳哦，有什么不会的就继续追问，我会及时回答的！