Question

已知动圆M过定点F(1,0),切与直线L x=-1相切,动圆圆心M 的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程

知动圆M过定点F(2,0),切与直线L x=-2相切,动圆圆心M 的轨迹为曲线C.【1】 求曲线C的方程，【2】过点f且斜率为1的直线与（1）中的轨迹c相交于p q两点，求pq的绝对值。
知动圆M过定点F(1,0),切与直线L x=-1相切,

Answer 1

已知动圆M过定点F(1,0),切与直线L x=-1相切,动圆圆心M 的轨迹为曲线C.
【1】 求曲线C的方程
设圆心的坐标为C（x，y)，则有
点C到直线L x=-1的距离=点C到定点F(1,0)的距离=圆的半径
∵点C到直线L x=-1的距离=x+1
∵点C到定点F(1,0)的距离=√[(x-1)²+y²]
∴(x+1)²=(x-1)²+y²即y²=4x
曲线C的方程为y²=4x
【2】过点F且斜率为1的直线与（1）中的轨迹c相交于p q两点，求pq的绝对值。
∵过点F且斜率为1的直线方程为y=x-1
∴解方程组y=x-1，y²=4x得x=3-2√2，y=2-2√2和x=3+2√2，y=2+2√2。
∴pq的绝对值=|pq|=√[（x2-x1）²+（y2-y1）²]=8

Answer 2

1、设圆心坐标为(x，y)
圆心到直线L x=-1的距离为：|x+1|
圆心与定点F的距离为：√[(x-1)²+(y-0)²]
∵动圆与直线L x=-1相切，圆心与定点F的距离等于半径
∴|x+1|=√[(x-1)²+(y-0)²]
化简得：y²=4x
即曲线C的方程为：y²=4x
2、过点F且斜率为1的直线可用点斜式表示为：
y-0=1*(x-1)
即y=x-1
∵直线与曲线C相交于p q两点
则联立方程可得：y²=4(y+1) 即y²-4y-4=0
根据韦达定理：yp+yq=4，yp*yq=-4
即(yp-yq)²=(yp+yq)²-4yp*yq=32
又∵xp+xq=yp+1+yq+1=(yp+yq)+2=6
xp*xq=(yp+1)(yq+1)=yp*yq+yp+yq+1=1
∴(xp-xq)²=(xp+xq)²-4xp*xq=32
则|pq|=√[(xp-xq)²+(yp-yq)²]=8

Answer 3

(1)
M(x, y), 则半径r = x + 1
FM² = r²: x² + (y - 1)² = (x + 1)²
(y - 1)² = 2x + 1

(2)
直线y = x + 1
代入(y - 1)² = 2x + 1: x² - 2x - 1 = 0
x₁ + x₂ = 2
x₁x₂ = -1
|PQ|² = (x₁ - x₂)² + (y₁ -y₂)²
= (x₁ - x₂)² + (x₁ + 1 - x₂ - 1)²
= 2(x₁ - x₂)² = 2[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]
= 0

Answer 4

依题意知动圆圆心M的轨迹为以F（1，0）为焦点的抛物线
其方程为: y^2=4x
由题意得直线AB的方程为 y=x-1
把 y=x-1代入y^2=4x
x^2-6x+1=0
x1+x2=6
|pq|=x1+x2+2=6+2=8

Answer 5

(1) 设M点坐标为(x,y)，与直线x=-2相切，故圆半径R=x+2，圆过点F(2,0)，故圆半径R^2=(x-2)^2+y^2，消去R，建立等式：(x+2)^2=(x-2)^2+y^2，故8x=y^2为曲线C的方程
(2) 过f点斜率为1的直线方程为y=x-2，设p(x1,y1),q(x2,y2)，知x1,x2是方程8x=(x-2)^2的两个跟，满足x1+x2=12,x1x2=4，而|pq|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2*(x1-x2)^2=2*[(x1+x2)^2-4*x1x2]=256，得|pq|=16

Answer 6

把图发上来