Question

高中数学函数题求高手解答

已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)e＾（x-1）-f(0)+1/2x^2
(1),求f(x)的解析式及单调区间
(2),若f(x)≧1/2x^2+ax+b,求(a+1)b的最大值

Answer 1

解：(1),由于f（x）=f′（1）e^(x-1)-f（0）x+1/2x²，则f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x，
令x=1得，f（0）=1，则f（x）=f′（1）e^(x-1)-x+1/2x²,
∴f（0）=f′（1）e^(-1) 则f′（1）=e，
得到f（x）=e^x-x+1/2x²，则g（x）=f′（x）=e^x-1+x，

g′（x）=e^x+1＞0，所以y=g（x）在x∈R上单调递增，
则f′（x）＞0=f′（0）⇔x＞0，f′（x）＜0=f′（0）⇔x＜0，
所以f（x）=e^x-x+1/2x²的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．

(2)、f(x)=e^x - x + 1/2 x^2≥1/2x^2+ax+b即 e^x >=(a+1)x +b成立
(a+1)b的最大值，我们考虑(a+1),b同号时的情况。不妨设a+1>0,b>0
则e^x >=(a+1)x +b中，令x=1得a+1+b<=1
从而(a+1)b <=[(a+1)+b]^2 /4=1/4
即(a+1)b的最大值=1/4

Answer 2

题是这样的吧

Answer 3

题有问题对不对？