Question

已知函数f(x)满足,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时，f(x)>1

（1）求f(0)
（2）求证：f(x)在R 上为增函数
（3）若f(6)=7,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x^2)<3对任意x>=-1恒成立，求a的范围
前两个都没问题
最后一个问求解

Answer 1

3、
f(m+n)=f(m)+f(n)-1
令m=n=3
得：f(6)=2f(3)-1
因为f(6)=7
可得：f(3)=4
令m=n=1，得：f(2)=2f(1)-1
令m=1，n=2，得：f(3)=f(1)+f(2)-1=3f(1)-2
因为f(3)=4
可得：f(1)=2
不等式f(ax-2)+f(x-x^2)<3可化为：
f(ax-2)+f(x-x^2)-1<2
即：f(ax-2+x-x^2)<f(1)
因为f(x)在R 上为增函数

所以：ax-2+x-x^2<1对对任意x>=-1恒成立，
即：ax<x^2-x+3对任意x>=-1恒成立，
（1）-1≦x<0时，a>x+3/x-1，令g(x)=x+3/x-1，则：a大于g(x)在[-1,0)上的最大值
g(x)是由对勾函数x+3/x向下平移1个单位得到的
在[-1,0)上递减，所以，g(x)max=g(-1)=-5
所以：a>-5
（2）x=0时，0<3，恒成立，则：a属于R；
（3）x>0时，a<x+3/x-3，令g(x)=x+3/x-1，则：a小于g(x)在(0,+∞)上的最小值
g(x)是由对勾函数x+3/x向下平移1个单位得到的
在(0,√3)上递减，(√3,+∞)上递增所以，g(x)min=g(√3)=2√3-1
所以：a<2√3-1
综上，实数a的取值范围是：-5<a<2√3-1

数学爱好者团队为您解答，希望能帮到你，如有不懂，请追问~~

Answer 2

1、令n=0，则有：f(m)=f(m)+f(0)-1
∴f(0)=1
2、令n＞0，则对任意实数x有：x+n＞x，
且f(x+n)=f(x)+f(n)-1
即：f(x+n)-f(x)=f(n)-1＞0
∴f(x)在R上为增函数
3、f(6)=f(2)+f(4)-1=7
f(4)=2f(2)-1
∴f(2)=3
又f(2)=2f(1)-1
∴f(1)=2
f(ax-2)+f(x-x^2)＜3
→f(ax-2+x-x^2)+1＜3
→f(-x^2+(a+1)x-2)＜2=f(1)
→x^2-(a+1)x+3＞0对x≥-1恒成立
→△=(a+1)^2-12＜0
或对称轴(a+1)/2≤-1且1+(a+1)+3＞0
解得：-5＜a＜2√3-1

追问

→x^2-(a+1)x+3＞0对x≥-1恒成立
再这之后 分类讨论是不是要三类？
△＜0
或△>0且x2<-1
或△=0且x<-1

追答

△>0且x2<-1
或△=0且x<-1
包含在对称轴(a+1)/2≤-1且1+(a+1)+3＞0中

Answer 3

根据f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(6)=7
令m=n=0得f(0)=1,
令m=-n得f(-n)+f(n)-1=f(0)=1,所以f(-n)=1-f(n)
设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2-x1)>0,则f是增函数。
又f(6)=2f(3)-1=7,f(3)=4,f(2+1)=f(2)+f(1)-1=4=3f(1)-2=4,所以f(1)=2
因此f(ax-2)+f(x-x^2)<3等价于f(ax-2+x-x^2)<2
即f(-x^2+ax+x-2)<f(1)
由单调性知有-x^2+(a+1)x-2<1
x^2-(a+1)x+3>0对于x<=-1恒成立，所以
判别式(a+1)^2-12<0
或者(a+1)/2>=-1且判别式>=0
解得a∈(-1-2√3，+∞),最后不知道算对没有。LZ自己算了。

Answer 4

f(2)=f(1)+f(1)-1
f(3)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4
所以f(1)=2
设x1<x2
则f(x2)-f(x1)
=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1
因为x2>x1
所以f(x2-x1)>1
所以f(x2)>f(x1)
所以f(x)是增函数
因为f(x)是增函数，f(1)=2
所以不等式的解集为a^2+a-5<1
(a+3)(a-2)<0
-3<a<2

Answer 5

为什么的他要小于零