Question

已知:在△ABC中,∠ADB=60°,D在BC上,∠CAD=15°,BD=2CD.求证:∠BAD=∠C

Answer 1

解：
作辅助线：过B点作AD的垂直线，垂足E，连接CE
∵已知∠ADB=60°，BD=2CD
∠DBE=90°-∠ADB=90°-60°=30°
则BD=2DE（30°角所对的边等于斜边的一半）
∴DE=CD，△CDE为等腰三角形
∠DCE=∠DEC=1/2∠ADB=30°
那么∠DCE=∠DBE，△BCE也是等腰三角形
∴BE=CE
又∵∠DEC=∠ACE+∠CAD（△ACE的外角）
则∠ACE=∠DEC-∠CAD=30°-15°=15°
△ACE也是等腰三角形
AE=CE=BE
那么△ABE也是等腰三角形
∠BAD=∠ABE=90°×1/2=45°
而∠C=∠DCE+∠ACE=30°+15°=45°
∴∠BAD=∠C

Answer 2

∵∠B=∠B,要证∠BAD=∠C,只要证△ABD∽△CBA
只要证BD/AB=AB/BC
∵BD=2CD,∴设BD=2,CD=1,BC=3
只要证AB²=BD*BC=6
易证∠ADC=120°,∠C=45°,正弦定理得AC/CD=sin∠ADC/sinDAC,AC=sin120°/sin15°
馀弦定理得AB²=BC²+AC²-2AC*BC*cosC
=9+3/4sin²15°-3√6/2sin15°
=9+3/2(1-cos30°)-3√3/√(1-cos30°)
令√(1-cos30°)=t,则AB²=9+3/2t²-3√3/t
要使AB²=6,只要使3/2t²-3√3/t=-3
只要使1/2t²-√3/t+1=0
只要使2t²-2√3t+1=0
只要使t=(√3-1)/2
只要使t²=(2-√3)/2
∵t²=1-cos30°=1-√3/2=(2-√3)/2
反推即得AB²=6,再反推得∠BAD=∠C