Question

设0≤x≤2,求函数f(x)=2^2x-1-2^x+1的值域

不用求导

Answer 1

这个可以这样做：设X-1=Y，则2X-1=2（x-1）+1=2y+1；x+1=x-1+2=y+2
则原公式变成2^(2y+1)-2^(y+2)=(2*2^2y)-4*2^y
设2^y=z ,可得2Z^2-4z=2(z-1)^2-2
当Z=1时有最小值-2 即2^y=z=1 即Y=0，带入可得X=1
同理可得当X=2时可取Z的最大值4 得函数最大值16 所以函数的值域为【-2，16】

Answer 2

f(x)=2^(2x-1)-2^x+1=(1/2)*(2^x)^2-2^x+1=(1/2)*[(2^x)-1]^2+1/2
0≤x≤2，1≤2^x≤4
0≤[(2^x)-1]^2≤9
f(x)的值域为[1/2,5]

Answer 3

2的x次方是单调递增的。在[0，2]2x-1<=x 1。所以原函数在定义域递减。代入值即可。