Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥A1B，D为AC的中点． （Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；

求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1

Answer 1

1.连接AB1，与A1B交于点E，易知点E是AB1的中点，
从而DE是ΔACB1的中位线，
从而DE‖CB1，
又因为直线DE是平面A1BD内的一条直线。
所以CB1‖平面A1BD
证完。

2.因为AC1⊥面A1BD
所以，AC1⊥A1D
从而，∠A1DA+∠CAC1=90°
再由∠AC1C+∠CAC1=90°
便得∠A1DA=∠AC1C
从而ΔA1AD∽ΔACC1
从而A1A/AD=AC/CC1
即A1A•CC1=AD•AC
因为CC1=AA1，AD=AC/2
所以有
A1A²= AC²/2
即，AC²=2A1A²
从而，AD²=（AC/2）²= AC²/4= A1A²/2
从而A1D²= A1A²+ AD²= A1A²+ A1A²/2=3A1A²/2 ①
又因为A1A⊥面ABC，
所以A1A⊥BD
因为AC1⊥面A1BD，
所以AC1⊥BD
所以，BD⊥面A1AC1，
又因为A1D⊂面A1AC1，
所以，BD⊥A1D
所以，BD²=A1B²-A1D²
因为AB=BB1=A1A
所以A1B²=AB²+ A1A²=2 A1A² ②
综合①，②便有
BD²=2 A1A²-3A1A²/2=A1A²/2=AD²
从而BD=AD
所以，∠ABC=90°（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理）
从而∠A1B1C1=90°
即B1C1⊥A1B1
又因为BB1⊥B1C1
所以，B1C1⊥面ABB1A1