Question

已知正项等差数列an的公差d为函数f(x)=x³－6x²＋9x的两极值点之差，且d，a2＋1，13

已知正项等差数列an的公差d为函数f(x)=x³－6x²＋9x的两极值点之差，且d，a2＋1，13－a3成等比数列
(1)求数列an的通项公式
(2)设数列bn满足b1/a2＋b2/a2＋……＋bn/an=1－1/2的n次方，n∈n，求bn的前n项和tn

Answer 1

解：

(1)

数列是正项等差数列，d≥0

f'(x)=3x²-12x+9

令f'(x)=0，得3x²-12x+9=0

x²-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0

x=1或x=3

d>0，d=3-1=2

d、a2+1、13-a3成等比数列，则(a2+1)²=d·(13-a3)

(a1+d+1)²=d·(13-a1-2d)

d=2代入，整理，得a1²+8a1-9=0

(a1+9)(a1-1)=0

a1=-9(舍去)或a1=1

an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

数列{an}的通项公式为an=2n-1

(2)

b1/a1=1-½=½

b1=½a1=½·1=½

n≥2时，

b1/a1+b2/a2+...+bn/an=1-½ⁿ                     ①

b1/a1+b2/a2+...+b(n-1)/a(n-1)=1-½ⁿ⁻¹      ②

①- ②

bn/an=(1-½ⁿ)-(1-½ⁿ⁻¹)=½ⁿ

bn=an·½ⁿ=(2n-1)/2ⁿ

Tn=b1+b2+b3+...+bn=½+3/2²+5/2³+...+(2n-1)/2ⁿ

½Tn=1/2²+3/2³+...+(2n-3)/2ⁿ+(2n-1)/2ⁿ⁺¹

Tn-½Tn=½Tn=½+½+½²+...+½ⁿ⁻¹-(2n-1)/2ⁿ⁺¹

Tn=1+1+½+...+½ⁿ⁻² -(2n-1)/2ⁿ

=1+1·(1-½ⁿ⁻¹)/(1-½) -(2n-1)/2ⁿ

=3  -(2n+3)/2ⁿ