Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),F1,F2分别是它的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M(x0,y0)

使得∠F1MF2=π/3，求离心率e的取值范围

Answer 1

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),短轴上顶点
B(0,b)，∠F1MF2的最大值为∠F1BF2
在椭圆上存在一点M(x0,y0)，使得∠F1MF2=π/3
∴∠F1BF2≥π/3
那么b≤√3/2*2c=√3c
∴b²≤3c² 即a²-c²≤3c²
∴a²≤4c² ,e²=c²/a²≥1/3
∴e≥√3/3
又0<e<1
∴离心率e的取值范围是(√3/3,1)

Answer 2

其实有个结论当M时Y轴上的2个顶点时夹角是最大的，只需要此时的夹角比60度大，在椭圆上就必能找到这样的M点使∠F1MF2=π/3