Question

设定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），

f（1）=2，求解方程f（x）的平方+（1/2）*f（x+3）=f（2）+1
我算出f（x）=1或-5，f（x）=1好算是x=0，但f（x）= -5算不出来啊....请大家帮帮忙！
不好意思把题抄错了！应该是f（x+y）=f（x）f（y）。

（非常抱歉!)

Answer 1

令x=0，则f(y)=f(0)+f(y)，f(0)=0
令x=y=1，则f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4
令x=2，y=1，则f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6
令y=3，则f(x+3)=f(x)+f(3)=f(x)+6
f²(x)+f(x+3)/2=f(2)+1，f²(x)+(f(x)+6)/2=4+1，2f²(x)+f(x)-4=0，f(x)=[-1±根号（1+4*2*4）]/4=（-1±根号33）/4，你抄错题了还是题出错了？

追问

不好意思把题抄错了！应该是f（x+y）=f（x）f（y）。
（非常抱歉!)

很抱歉浪费了您的时间，如果可以的话请再解答一下，感激不尽！

追答

令x=0，则f(y)=f(0)f(y)，f(0)=1
令x=y=1，则f(2)=f(1)f(1)=2*2=4
令x=2,y=1，则f(3)=f(2)f(1)=4*2=8
所以 f(x+3)=f(x)f(3)=8f(x)
f²(x)+f(x+3)/2=f(2)+1，f²(x)+4f(x)=5，f（x）=1或-5
f（x）=1，x=0

令x＞0，y=-x，则f(0)=f(x)f(-x)=1，f(-x)=1/f(x)
f(x-y)=f(x)f(-y)=f(x)/f(y)
f(x)应该是一个恒正的单调增函数，因为指数函数（比如f(x)=2^x）符合条件，故f（x）≠-5，可是我还没想到证明方法。等一下好吗？

追问

当然可以，很感谢您。

Answer 2

对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），有这个就可以证明f(x)=f(1)*x,所以你后面 说的可以无视，认真检查吧

追问

不好意思把题抄错了！应该是f（x+y）=f（x）f（y）。
很抱歉浪费了您的时间，如果可以的话请再解答一下，感激不尽！

追答

那个f(x)=1的你自己解决了，我就不罗嗦了，这个f(x)=-5实际上可以舍去(无解)。理由如下

由已知得到f(0)=1[令y=0,等式对任意x都成立];
取y=-x,则，f(0)=f(x)*f(-x);因为x＞0时，f（x）＞1>0，所以对于任意x0;
从而对于x属于R都有f（x）>0.这个f(x)=-5无解，解答完毕。

Answer 3

令x=0，则f(y)=f(0)+f(y)，f(0)=0
令x=y=1，则f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4
令x=2,y=1，则f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6
所以 f(x+3)=f(x)+f(3)=f(x)+6
f²(x)+f(x+3)/2=f(2)+1
2f²(x)+(f(x)+6)=2(4+1)
2f²(x)+f(x)-4=0
算不出你要的答案，题目应该有错

追问

不好意思把题抄错了！应该是f（x+y）=f（x）f（y）。

很抱歉浪费了您的时间，如果可以的话请再解答一下，感激不尽！

追答

令x=0，则f(y)=f(0)f(y)，f(0)=1
令x=y=1，则f(2)=f(1)f(1)=2*2=4
令x=2,y=1，则f(3)=f(2)f(1)=4*2=8
所以 f(x+3)=f(x)f(3)=8f(x)
f²(x)+f(x+3)/2=f(2)+1
f²(x)+4f(x)=4+1
f²(x)+4f(x)-5=0
(f(x)-1)(f(x)+5)=0
f(x)-1=0 或 f(x)+5=0
f(x)=1 或 f(x)=-5

追问

那个.......是解x的值。