Question

求证：当0<x<π/2时 ，tan x>x+(x^3)/3

Answer 1

解法一：令F(x)=tanx-x-x^3/3，等式两边同时求导，得：F’(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2；
根据函数曲线特征可知，当x∈(0,π/2)，tanx>x，∴F’(x)>0,F(x)在(0,π/2)内单调递增；
又∵当x=0时，F(0)=0,∴F(x)恒>0，即tanx>x+x^3/3。命题得证。
解法二：由泰勒公式tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...，可知x∈(0,π/2)时，F(x)=tanx-x-x^3/3=2x^5/15+...>0，命题得证。

Answer 2

证明：
构造函数f(x)=tanx-x-(x^3)/3
则 f(0)=0
f'(x)=sec²x-1-x²=tan²x-x²=(tanx-x)(tanx+x)
∵ 0<x<π/2 ,
∴ tanx>x>0
∴ tanx-x>0,tanx+x>0
∴ f'(x)>0
即 f(x)在0<x<π/2 上递增
∴ f(x)>f(0)=0
即 tanx-x-(x^3)/3>0
即 tan x>x+(x^3)/3